图形与几何 · 第十三课

锐角三角函数与解直角三角形

从直角三角形中的边比出发，理解 sin、cos、tan，掌握特殊角值，并用它们解决测高、测距和坡度问题。

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知识关系图

锐角三角函数与解直角三角形知识关系图：sin A 等于 A 的对边除以斜边，cos A 等于 A 的邻边除以斜边，tan A 等于 A 的对边除以邻边；特殊角包括 30 度、45 度、60 度；应用包括测高、测距、仰角、俯角和坡度。
用一张图看清三角函数边比、特殊角值和实际应用。

锐角三角函数只讨论直角三角形中的锐角。sin A 等于 A 的对边除以斜边，cos A 等于 A 的邻边除以斜边，tan A 等于 A 的对边除以邻边。特殊角三角函数值包括 30 度、45 度、60 度。解直角三角形常用于求边长、求角度、测高、测距、坡度、仰角和俯角问题。

动态交互演示

用边比解决直角三角形

三角函数

1. sin、cos、tan 的边比

固定一个锐角 A，看对边、邻边、斜边和三个比值怎样同步变化。

A=35°邻边≈9.83对边≈6.88斜边=12
sin≈0.574cos≈0.819tan≈0.700

2. 特殊角值

30°、45°、60° 是最常用的精确值，优先记成边比。

sin 30°1/2
cos 30°√3/2
tan 30°√3/3

先认角，再选 sin / cos / tan 对应的边比。

3. 解直角三角形

已知一个锐角和一条边，可以选择合适的三角函数求未知边。

对边 = 10 × sin 30° ≈ 5

4. 仰角测高与坡度

实际问题常把高度、水平距离和角度转成直角三角形。

35°水平 12高≈8.4
tan 35°≈0.7坡度≈1:1.43坡角=35°

楼高≈8.4；坡度 = 高 / 水平距离 = tan 35°

5. 随机生成题目

直角三角形中，∠A=30°，斜边为 10，求 ∠A 的对边。

例题

例题 1：已知斜边求对边

题目：直角三角形中，∠A=30°，斜边为 12，求 ∠A 的对边。

sin A = 对边 / 斜边
对边 = 斜边 × sin 30° = 12 × 1/2 = 6

答案：6

例题 2：已知斜边求邻边

题目：直角三角形中，∠A=60°，斜边为 10，求 ∠A 的邻边。

cos A = 邻边 / 斜边
邻边 = 斜边 × cos 60° = 10 × 1/2 = 5

答案：5

例题 3：测高问题

题目：人在离楼底 20 米处看楼顶，仰角为 30°，楼高约多少？

tan 30° = 楼高 / 20
楼高 = 20 × tan 30° = 20 × √3/3

答案：20√3/3 米，约 11.55 米

例题 4：坡度问题

题目：某坡道每水平前进 12 米，上升 3 米，坡度是多少？

坡度 = 铅直高度 / 水平距离
坡度 = 3 / 12 = 1/4

答案：1:4

易错点

  • 判断对边、邻边时，一定要先看清楚题目指定的是哪个锐角。
  • 斜边永远是直角所对的最长边，不会随着选角改变。
  • sin 用对边和斜边，cos 用邻边和斜边，tan 用对边和邻边。
  • 求角度时，通常先得到三角函数值，再反推出角度。
  • 仰角、俯角要先画水平线，再和视线组成角。
  • 坡度是铅直高度与水平距离的比，不是斜坡长度与水平距离的比。