统计与概率 · 第十七课

数据的集中趋势与离散程度

掌握平均数、加权平均数、中位数、众数和方差，能计算常见统计量，并根据实际问题选择合适的统计量评价数据。

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知识关系图

数据的集中趋势与离散程度知识关系图：核心包括平均数、加权平均数、中位数、众数、方差；能力包括计算统计量、评价数据、比较稳定性和选择合适统计量。
用一张图看清集中趋势、离散程度与实际评价问题之间的关系。

数据的集中趋势包括平均数、加权平均数、中位数和众数。离散程度常用方差描述。平均数适合评价整体水平，中位数适合有极端值时看中间水平，众数适合表示最常出现的数据，方差适合比较稳定性。方差越小，数据波动越小。

互动实验室

拖动参数，观察统计量如何随着数据、权重和波动变化。

1. 平均数、中位数、众数

同一组数据可以用不同统计量描述，适合的问题也不同。

5060708090100727575808692
排序后：72、75、75、80、86、92
平均数80看整体水平
中位数77.5看中间位置
众数75看最常出现

2. 加权平均数

权重表示重要程度，不是简单把分数相加再平均。

加权平均90.4 分82 × 30% + 94 × 70%

3. 方差与稳定性

平均数接近时，方差能帮助判断哪组数据更稳定。

A 组：稳定50607080901007879808182平均数 80，方差 2
B 组：波动大506070809010060728088100平均数 80，方差 185.6
结论：A 组方差更小，所以数据更集中、更稳定。

4. 选择合适统计量

先判断题目想评价什么，再选择统计量。

推荐统计量平均数

平均数把每个数据都计入，适合评价一组数据的整体水平。

随机生成题目

数据 6、8、10、12 的平均数是多少？

例题

例题 1：求平均数

题目：数据 6、8、10、12 的平均数是多少？

平均数 = 数据总和 ÷ 数据个数
= (6 + 8 + 10 + 12) ÷ 4
= 36 ÷ 4
= 9

答案：9

例题 2：求中位数

题目：数据 82、75、90、88、70 的中位数是多少？

先按从小到大排列：70、75、82、88、90
共有 5 个数据，中间第 3 个是 82。

答案：82

例题 3：求加权平均数

题目：平时成绩 80 分，占 30%；考试成绩 95 分，占 70%。综合成绩是多少？

综合成绩 = 80 × 30% + 95 × 70%
= 24 + 66.5
= 90.5

答案：90.5 分

例题 4：用方差比较稳定性

题目：A 组方差为 2，B 组方差为 18，哪组数据更稳定？

方差表示数据偏离平均数的程度。
方差越小，波动越小，数据越稳定。

因为 2 < 18，所以 A 组更稳定。

易错点

  • 平均数会受到极端值影响，中位数受极端值影响较小。
  • 众数可以不止一个；如果所有数据出现次数一样，可以说没有明显众数。
  • 加权平均数要看权重，不能直接把所有成绩简单平均。
  • 方差不是平均数，它描述的是数据波动大小。
  • 比较稳定性时，通常方差越小，数据越稳定。
  • 选择统计量要看问题目的：整体水平看平均数，中间水平看中位数，最常出现看众数，稳定性看方差。