图形与几何 · 第十一课

圆

从圆心、半径和直径出发，理解圆的周长面积、弧、弦、圆心角、圆周角、扇形和切线等核心关系。

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知识关系图

圆知识关系图：圆心 O、半径 r、直径 d 等于 2r、周长 C 等于 2πr、面积 S 等于 πr 的平方；核心关系包括弦、弧、圆心角、圆周角、扇形面积、切线和垂径定理。
用一张图看清圆的基本量、角关系、弦关系和面积公式。

圆由到定点距离等于定长的点组成。定点是圆心，定长是半径。直径等于两倍半径，周长等于 2πr，面积等于 πr 的平方。同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的弧。切线垂直于过切点的半径。

动态交互演示

看见圆的半径、角、弦和扇形

曲线图形

1. 半径、直径、周长、面积

拖动半径，圆的大小、直径、周长和面积同步变化。

Or=6d=12

C = 12π，S = 36π

2. 扇形面积

扇形面积等于整个圆面积按圆心角比例取一部分。

120°

扇形占整圆的 120/360，约 0.33

3. 圆心角与圆周角

同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

100°50°

圆周角 = 100° ÷ 2 = 50°

4. 弦与垂径定理

圆心到弦的垂线会平分这条弦；距离越远，弦越短。

d=3弦长≈14.83

垂线平分弦，两半长度相等

5. 随机生成题目

一个圆的半径为 6，周长是多少？用 π 表示。

例题

例题 1：圆的周长

题目：一个圆的半径为 7，周长是多少？用 π 表示。

圆的周长 C = 2πr
C = 2π × 7 = 14π

答案：14π

例题 2：圆的面积

题目：一个圆的直径为 10，面积是多少？用 π 表示。

半径 r = 10 ÷ 2 = 5
圆的面积 S = πr² = π × 5² = 25π

答案：25π

例题 3：圆心角与圆周角

题目：同弧所对的圆心角为 128°，圆周角是多少？

同弧所对的圆周角 = 圆心角 ÷ 2
圆周角 = 128° ÷ 2 = 64°

答案：64°

例题 4：扇形面积

题目：半径为 6、圆心角为 90° 的扇形面积是多少？用 π 表示。

扇形面积 = πr² × 圆心角 / 360°
S = π × 6² × 90 / 360 = 9π

答案：9π

易错点

  • 直径是半径的 2 倍，题目给直径时要先除以 2 得到半径。
  • 周长公式是 C = 2πr，面积公式是 S = πr²，不要混用。
  • 圆周角等于同弧所对圆心角的一半，前提是“同弧”。
  • 扇形面积要乘以 圆心角 / 360°。
  • 垂径定理强调“过圆心且垂直于弦”的线，才能平分弦。
  • 切线与过切点的半径垂直，不是与任意半径垂直。