综合与实践 · 第十九课

数学建模

学会从实际问题中提取数量关系，设未知量，建立方程、函数、不等式或几何模型，并能解释结果、检验答案是否合理。

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知识关系图

数学建模知识关系图：核心包括实际问题、提取数量关系、设未知量、建立模型、求解模型、解释结果、检验合理性；模型包括方程模型、函数模型、不等式模型和几何模型。
用一张图看清建模流程、模型类型和常见实际问题场景。

数学建模要从实际问题中提取数量关系，设未知量，建立方程模型、函数模型、不等式模型或几何模型，求解后解释结果并检验合理性。常见主题包括收费方案选择、最省钱、最大利润、最短路径、速度时间路程、增长率与折扣。

互动实验室

数学建模

把现实问题转化成数学模型，再把数学结果解释回现实。

1. 建模流程

建立模型现实 → 数学

把实际关系转化为方程、函数、不等式或几何关系。

2. 收费方案选择

比较两个套餐的总费用，先把每个方案写成“固定费用 + 单价 × 使用量”。

方案 A20 元月费 + 1.5 元/单位模型：A = 20 + 1.5x
方案 B8 元月费 + 2.4 元/单位模型：B = 8 + 2.4x
方案 A 更省钱47.0 元A: 47.0 元；B: 51.2 元

3. 利润模型

总利润 = 单件利润 × 销量。

总利润1440 元(34 - 16) × 80

4. 速度、时间、路程

行程问题通常先统一单位，再用 s = vt 建模。

路程180 千米s = 60 × 3

5. 折扣与增长率

折扣和增长率都可以转化为乘法模型。

最终金额105.6 元120 × 80% × (1 + 10%)

随机生成题目

出租车起步价 10 元含 3 千米，超过部分每千米 2 元。乘坐 8 千米需要多少钱？

例题

例题 1：收费方案选择

题目：方案 A 月费 20 元，每单位 1.5 元；方案 B 月费 8 元，每单位 2.4 元。用量为 18 单位时选哪个？

方案 A：20 + 1.5 × 18 = 47
方案 B：8 + 2.4 × 18 = 51.2
47 < 51.2

答案：选方案 A，更省钱。

例题 2：利润模型

题目：某商品售价 35 元，成本 18 元，卖出 80 件，利润是多少？

单件利润 = 35 - 18 = 17
总利润 = 17 × 80 = 1360

答案：1360 元

例题 3：行程模型

题目：汽车每小时行驶 60 千米，行驶 3 小时，路程是多少？

路程 = 速度 × 时间
= 60 × 3
= 180

答案：180 千米

例题 4：检验实际意义

题目：买笔每支 3 元，带了 20 元。最多可以买几支？

设最多买 x 支。
3x ≤ 20
x ≤ 20/3 = 6.66...
因为支数必须是整数，所以最多买 6 支。

答案：6 支

易错点

  • 建模前要先读清题目目标：是求费用、利润、最值、路程，还是判断是否可行。
  • 设未知量时要写清单位和取值范围，尤其是人数、件数、次数通常必须是整数。
  • 建立模型后不能只算数学结果，还要回到题意解释。
  • 方程模型适合“相等关系”，不等式模型适合“至少、至多、不超过”。
  • 函数模型适合研究一个量随另一个量变化，常用于费用、利润、行程问题。
  • 答案要检验合理性，例如费用不能为负，路程不能超出题目条件，件数不能取小数。