图形与几何 · 第十二课

勾股定理

从直角三角形三边关系出发，理解 a² + b² = c²、逆定理、勾股数，以及距离和几何综合中的应用。

开始互动查看例题

知识关系图

勾股定理知识关系图：直角三角形两条直角边 a、b，斜边 c；公式 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方；可求斜边、求直角边，也可用逆定理判断直角三角形；常见勾股数包括 3-4-5 和 5-12-13。
用一张图看清勾股定理、逆定理、勾股数和应用场景。

勾股定理适用于直角三角形。两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，则 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方。求斜边时用平方和开方，求直角边时用斜边平方减另一条直角边平方再开方。若三边满足 a 的平方加 b 的平方等于 c 的平方，则三角形是直角三角形。

动态交互演示

用面积和计算理解勾股定理

直角三角形核心

1. 面积关系：a² + b² = c²

直角边上的两个正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。

a²b²c²a=3b=4c≈5

3² + 4² = 25，所以 c² = 25

2. 已知两条直角边求斜边

拖动两条直角边，斜边长度会按平方和开方变化。

a=6b=8c≈10

c = √(6² + 8²) ≈ 10

3. 求未知边

求斜边用加法，求直角边用斜边平方减直角边平方。

公式c=√(a²+b²)

未知边 ≈ 13.93

4. 逆定理判断

把最长边当斜边，检查较短两边平方和是否等于最长边平方。

5² + 12²169
13²169

满足逆定理，是直角三角形

5. 随机生成题目

直角三角形两条直角边分别为 6 和 8，斜边是多少？

例题

例题 1：求斜边

题目：直角三角形两条直角边分别为 9 和 12，斜边是多少？

a² + b² = c²
c² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
c = 15

答案：15

例题 2：求直角边

题目：直角三角形斜边为 13，一条直角边为 5，另一条直角边是多少？

未知直角边² = 13² - 5²
= 169 - 25 = 144
未知直角边 = 12

答案：12

例题 3：逆定理判断

题目：三边长为 6、8、10 的三角形是直角三角形吗？

最大边是 10
6² + 8² = 36 + 64 = 100
10² = 100
两者相等，所以是直角三角形。

答案：是

例题 4：距离应用

题目：在平面直角坐标系中，从点 (0,0) 到点 (6,8) 的距离是多少？

横向距离为 6，纵向距离为 8
距离 = √(6² + 8²) = √100 = 10

答案：10

易错点

  • 勾股定理只适用于直角三角形。
  • 斜边一定是直角所对的边，也是三边中最长的一条。
  • 求直角边时要用 c² - b²，不能用 c² + b²。
  • 判断直角三角形时，要把最长边当作可能的斜边。
  • 3-4-5、5-12-13 是常见勾股数，它们的整数倍也满足勾股定理。
  • 最后求边长时通常要开平方，不能只停在平方值。