图形与几何 · 第十四课

图形变换

从平移、轴对称、旋转、中心对称和位似出发，理解图形运动中的不变量，并会在坐标系中表示变换后的图形。

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知识关系图

图形变换知识关系图：核心包括平移、轴对称、旋转、中心对称、位似、坐标变换；平移由方向和距离确定，轴对称是关于直线翻折，旋转由中心和角度确定，中心对称相当于旋转 180 度，位似是按比例放大或缩小。
用一张图看清图形变换的类型、不变量和常见应用。

图形变换包括平移、轴对称、旋转、中心对称和位似。平移保持形状、大小和方向不变，只改变位置。轴对称是关于一条直线翻折。旋转需要确定旋转中心和旋转角度。中心对称相当于绕中心旋转 180 度。位似保持形状不变，按比例放大或缩小。图形变换常用于坐标变换、最短路径、图形面积和几何证明。

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图形运动

1. 平移

平移只改变位置，不改变形状、大小和方向。

原图平移后

坐标变化：(x, y) → (x+3, y+2)

2. 轴对称与中心对称

轴对称是关于直线翻折，中心对称相当于绕中心旋转 180°。

O

关于 y 轴：(x,y) → (-x,y)

3. 旋转

旋转需要确定旋转中心、旋转方向和旋转角度。

中心

当角度为 180° 时，就是中心对称。

4. 位似

位似会保持形状不变，按位似比放大或缩小。

位似中心

长度比 = 1.6，面积比 = 2.56

5. 随机生成题目

点 A(2, -3) 关于 y 轴对称后的坐标是多少？

例题

例题 1：平移坐标

题目：点 A(2,-1) 向右平移 3 个单位、向上平移 4 个单位，得到点 A'，求 A' 坐标。

平移时，横坐标加水平位移，纵坐标加竖直位移。
A' = (2+3, -1+4) = (5, 3)

答案：(5, 3)

例题 2：轴对称坐标

题目：点 B(-3,4) 关于 x 轴对称后的坐标是多少？

关于 x 轴对称，横坐标不变，纵坐标变相反数。
B' = (-3, -4)

答案：(-3, -4)

例题 3：中心对称坐标

题目：点 C(5,-2) 关于原点中心对称后的坐标是多少？

关于原点中心对称，相当于旋转 180°。
横坐标、纵坐标都变为相反数。
C' = (-5, 2)

答案：(-5, 2)

例题 4：位似坐标

题目：以原点为位似中心，位似比为 2，点 D(3,1) 的对应点 D' 坐标是多少？

以原点为位似中心，坐标按位似比同时放大。
D' = (3×2, 1×2) = (6, 2)

答案：(6, 2)

易错点

  • 平移不改变形状、大小和方向，只改变位置。
  • 关于 x 轴对称时，纵坐标变号；关于 y 轴对称时，横坐标变号。
  • 关于原点中心对称时，横坐标和纵坐标都变号。
  • 旋转必须说清楚旋转中心、旋转方向和旋转角度。
  • 位似和相似相关：位似图形形状相同，但大小可以改变。
  • 做最短路径题时，常用轴对称把折线路径转化为直线路径。